Gelijkzwevende stemming
Natuurkwint vs. gelijkzwevende kwint
Bij de gelijkzwevende stemming, heb je behalve de reine prime en de reine octaaf, nergens perfecte verhoudingen: De fouten zijn gelijkmatig verdeeld over het octaaf. Ter illustratie gaan we het verschil berekenen tussen een natuurkwint (dus een interval dat écht 3:2 is), en het interval van een reine gelijkzwevende kwint.
Natuurkwint
De natuurkwint is een interval van écht 3:2. In centen:
afstand = 1.200*log(3/2)/log(2) [cent]
= 1.200*log(3/2; 2) [cent] (notatie Calc)
= 701,9550009 cent
Gelijkzwevende kwint
We berekenen de lengte van een reine gelijkzwevende kwint aan de hand van een voorbeeld: Het interval A-E. De toonhoogtes halen we uit deze tabel:
- A4 = 440 Hz (exact)
- E5 = 659,2551 Hz
- E5/A4 = 1,498307. Hieruit volgt:
afstand = 1.200*log(1,498307; 2)
= 699,9999112 cent
= 700 cent (vermoedelijk was 699,... veroorzaakt door een afrondfout)
Verschil
- Relatief: (1,5-1,498307)/1,5 = 0,11%
- In centen (1): 1200*log(1,5/1,498307)/log(2) = 1,955 cent
- In centen (2): 701,9550009 - 700 = 1,955 cent.
Vioolstemmen met natuurkwinten
Relatief stemmen van een viool, gebeurt door op het gehoor te stemmen op natuurkwinten. Dat zijn intervallen met 'echte' verhoudingen van 3:2. Dat wijkt af van de gelijkzwevende stemming. Het is dezelfde fout als gitaristen die stemmen mbv. flageoletten: Ook dan neem je aan dat de intervallen 'perfect' of 'natuurlijk' zijn.
Toonhoogtes
Om dit iets nader te analyseren: Dit zijn de toonhoogtes voor een viool:
- G (G3) 195,9977 Hz
- D (D4) 293,6648 Hz - Een reine kwint boven de G
- A (A4) 440 Hz (exact) - Een reine kwint boven de D
- E (E5) 659,2551 Hz - Een reine kwint boven de A
Voorbeeld: Eén snaar
Als je van A naar E stemt mbv. een reine kwint, krijg je de al genoemde 0,11% afwijking, oftwel 1,955 cent.
Cascade
Het wordt interessanter, als je vanaf de A-snaar alle andere snaren stemt:
- De E-snaar wijkt 1,955 cent af
- De D-snaar wordt dan 293,3333 Hz (440Hz/1,5). Afwijking: 0,11% - 1,955 cent (zoals verwacht)
- De G-snaar wordt dan 195,5555 Hz (293,3333Hz/1,5)
- Van A- naar G-snaar, wordt de afwijking 3,91 cent
- Van E- naar G-snaar, wordt de afwijking 5,87 cent - Ik denk dat dat significant is.
P.s.: Het is niet vanzelfsprekend om een viool altijd gelijkzwevend te stemmen. Binnen een strijkkwartet worden vaak alle instrumenten gestemt middels reine kwinten. Je krijgt dan de stemming van Pythagoras (geloof ik - [1]).
P.p.s: Op violen speel je geen akkoorden en je speelt altijd maar 1 toon tegelijkertijd. Daarnaast is het een fretloos instrument - al met al is het waarschijnlijk niet zo'n ramp.
Het probleem met stemmen met flageoletten
Er zijn verschillende manieren om een gitaar te stemmen. Eén daarvan is middels flageoletten: Door snaren op bepaalde plekken half in te drukken, krijg je opvallend hoge tonen. En daarmee kun je andere snaren stemmen. Het ziet er vooral spectaculair uit, en da's vermoedelijk de reden dat gitaristen zo flippen als ik ze erop wijs dat het onzin is.
Samenvatting
De reden dat stemmen met flageoletten niet werkt, is omdat je daarbij stemt op natuurkwinten, maar in de gebruikelijke gelijkzwevende stemming, maken we gebruik van gelijkzwevende kwinten. De afwijking is bijna 2 cent per kwint, en dus per snaar. Als je alle snaren op deze manier stemt, krijg je een afwijking van 9 cent tussen de laagste en hoogste snaar - En dat hoor je.
Frequenties gitaarsnaren
Binnen het systeem van gelijkzwevende stemming hebben alle snaren vaste frequenties. Voor een zessnarige gitaar:
| Snaar | Frequentie (Hz) |
|---|---|
| Lage E-snaar (E2) | 82,40689 |
| A-snaar (A2) | 110 (exact) |
| D-snaar (D3) | 146,8323 |
| G-snaar (G3) | 195,9977 |
| B-snaar (B3) | 246,9417 |
| Hoge E-snaar (E4) | 329,6276 Hz |
Stemmen met flageoletten
Wat je doet als je twee opeenvolgende snaren stemt met flageoletten:
- Speel de flageolet op de 5e fret van de lage snaar
- Speel de flageolet op de 7e fret van de hoge snaar
- Pas de stemming van de hoge snaar aan
Hoe flagelotten werken:
- De 5e fret-flagiolet heeft een frequentie van 4 keer die van de open snaar
- De 7e fret-flagiolet heeft een frequentie van 3 keer die van de open snaar.
Voorbeeld: A-snaar stemmen ahv. lage E-snaar
- Lage E-snaar: 82,40689 Hz
- 5e fret-flageolet lage E-snaar: 329,62756 Hz
- A-snaar: 110 Hz
- 7e fret-flageolet A-snaar: 330 Hz
- Als je de A-snaar op deze manier stemt, krijg je een frequentie van 329,62756/3 = 109,8759 Hz
Hoe groot is de afwijking?
- Relatief: (110-109,8759)/110 = 0,11%. Dezelfde fout als bij het stemmen van een viool mbv. reine kwinten
- In centen: 1200*log(110/109,8759)/log(2) = 1,95 cent.
Voorbeeld: D-snaar stemmen ahv. A-snaar
- A-snaar: 110 Hz
- 5e fret-flagiolet A-snaar: 440 Hz
- 7e fret-flagiolet D-snaar: 440 Hz (omdat je deze aanpast aan die van de A-snaar)
- Frequentie D-snaar: 146,667 Hz
Relatieve afwijking: Opnieuw 0,11% - 1,955 cent.
Cascade
Stel nu, dat je vanaf de A-snaar de overige snaren gaat stemmen. Net als met het voorbeeld van het stemmen van een viool, zijn de afwijkingen cummulatief:
- E-snaar: 0,11% afwijking - 1,955 cent
- D-snaar: 0,11% afwijking - 1,955 cent
- G-snaar: 0,23% afwijking - 3,91 cent
- B-snaar: 0,33% afwijking - 5,865 cent
- e-snaar: 0,45% afwijking - 7,82 cent.
- Van lage E-snaar haar hoge E-snaar: 9,78 cent.
In een snelle test merkte ik, dat voor mij 13 cent ongeveer de grens is aan wat ik kan horen. Het zou me niets verbazen, als ik wel degelijk hoor dat er iets niet klopt aan een akkoord waar zulke verschillen in zitten (bv. een G-akkoord). Daarnaast denk ik dat er veel mensen zijn, die veel kleinere intervallen kunnen waarnemen dan mijn 13 cent.
Zie ook
Bronnen
- https://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkzwevende_stemming
- https://en.wikipedia.org/wiki/Equal_temperament
- http://www.get-tuned.com/how-to-tune-the-violin.php
- https://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_pitch_notation
- http://www.schrof.net/guitar/articles/harmonics.html - Heel leuk artikel!
- https://nl.wikipedia.org/wiki/Kwint#Stemming